je veux demontrer que cos(2π\5)=(√5_1)/4

On pose z=e^(i2π/5)
Alors z^4+z³+z²+z+1=0
z≠0 donc on a z²(z²+z+1+1/z+1/z²)=0
Soit (z²+1/z²)+(1+1/z)+1=0
Or z²+1/z²=e^(i4π/5)+e(-i4π/5)=2cos(4π/5) en utilisant les formules d'Euler
De plus (z+1/z)=2cos(2π/5)
Or cos(4π/5)=2cos²(2π/5)-1
Donc on a 2(2cos²(2π/5)-1)+2cos(2π/5)+1=0
On pose x=cos(2π/5), l'équation se ramène à :
2(2x²-1)+2x+1=0
Soit 4x²+2x-1=0
Cos(2π/5) est la solution positive de cette équation.
Δ=4+4*4*1=20
√Δ=2√5
Donc la solution positive est x=(-2+2√5)/8
Soit cos(2π/5)=(√5-1)/4

Cos 2π/5 = Sin (π/2 - 2π/5) = Sin (π/10)

On fait la dérivation des formules trigonométriques:
   Sin 2A = 2 Sin A Cos A
   Cos 2A = 1 - 2 Sin² A = 2 Cos² A - 1
   Cos 3A = Cos (A+2A) = Cos A Cos 2A - Sin A Sin 2A
         = Cos A [ (1 - 2 Sin² A) - 2 Sin² A ] =  Cos A [ 1 - 4 Sin² A ]

Soit  A = π/10      =>    5 A = π/2
        2 A = π/2 - 3 A
   Sin 2 A = Sin (π/2 - 3 A) = Cos 3 A
  2 Sin A Cos A = Cos A [ 1 - 4 Sin² A ]

Car Cos A ≠ 0,
            2 Sin A = 1 - 4 Sin² A
   =>  4 Sin² A + 2 Sin A - 1 = 0
           Sin A = [-2 + √20 ] / 8      ou    [-2 - √20 ]/ 8
     Sin π/10 est positif.  Donc,

       Sin A = (√20 - 2) / 8 = (√5 - 1) / 4
  Donc,  Cos 2π/5 = Sin π/10 =  (√5 -1) / 4