8 (w) est la suite définie par wo entier naturel n, Wn+1=2wn - 3. Démontrer par récurrence que pour t w₁ = 3(1-2n) ?​

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape :

Je suppose que tu as voulu écrire:

[tex](w_n)[/tex] est la suite définie par [tex]w_0=a[/tex] et  [tex]w_{n+1}=2*w_n-3[/tex].

Démontrer par récurrence que

[tex]\forall\ n\ \in\ \mathbb{N},w_0=a : w_{n+1}=(a-3)*2^n+3\\Soit\ t_n=w_n-3\\t_{n+1}=w_{n+1}=2w_n-3 -3=2(w_n-3)=2*t_n\\t_0=w_0-3=a-3\\[/tex]

La suite [tex](t_n)[/tex]  est donc géométrique de raison 2 et de premier terme a-3

[tex]t_n=(a-3)*2^n\\w_n=t_n+3=(a-3)*2^n+3\\[/tex]

Tu remplaceras a par la valeur donnée dans l'énoncé original.

Réponse :

Explications étape par étape :

Soit à démontrer la propriété P(n) telle que pour tout entier naturel n :

wₙ₊₁ = 3(1 - 2ⁿ)

a) Initialisarion : w₁ = 2w₀ - 3 = 2 x 0 - 3 = -3

   et 3( 1 - 2¹) = 3(1 - 2) = -3

La propriété P(n) est initiallisée.

b) Hérédité : On suppose qu'il existe un entier naturel n qualconque fixé tél que wₙ₊₁ = 3(1 - 2ⁿ) et on cherche à démontrer que wₙ₊₂ = 3(1 - 2ⁿ⁺¹)

wₙ₊₂ = 2wₙ₊₁ - 3

wₙ₊₂ = 2 x 3(1 - 2ⁿ) - 3

wₙ₊₂ = 3[2(1 - 2ⁿ) - 1]

wₙ₊₂ = 3(2 - 2ⁿ⁺¹ - 1)

wₙ₊₂ = 3(1 - 2ⁿ⁺¹)

La propriété P(n) est héréditaire.

c) Conclusion : La propriété P(n) est initialisée et héréditaire donc, d'après le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout n ∈ N.