Bonjour Après les logarithmes, les radicaux Un premier exercice où il faut avoir comme réflexe de trouver une relation bien connue

Bonjour,

Réponse :

Il faut déterminer tout d'abord le domaine de définition :

[tex]D = \{x \in \mathbb{R} / x\geqslant 0\:\:{\sf et}\:\: x+4-4\sqrt{x} \geqslant0\:\:{\sf et}\:\:x+9-6\sqrt{x} \geqslant0 \}[/tex]

[tex]D = \{x \in \mathbb{R}_{+} /x+4 \geqslant4\sqrt{x} \:\:{\sf et}\:\:x+9\geqslant6\sqrt{x} \}[/tex]

[tex]D = \{x \in \mathbb{R}_{+} /(x+4)^2 \geqslant(4\sqrt{x})^2 \:\:{\sf et}\:\:(x+9)^2\geqslant(6\sqrt{x})^2 \}[/tex]

[tex]D = \{x \in \mathbb{R}_{+} /x^{2} +8x+16 \geqslant16x \:\:{\sf et}\:\:x^{2} +18x+81\geqslant 36x \}[/tex]

[tex]D = \{x \in \mathbb{R}_{+} /x^{2} -8x+16 \geqslant 0 \:\:{\sf et}\:\:x^{2} -18x+81\geqslant 0\}[/tex]

[tex]D = \{x \in \mathbb{R}_{+} /(x -4)^2 \geqslant 0 \:\:{\sf et}\:\:(x -9)^2\geqslant 0\}[/tex]

[tex]D = \mathbb{R}_{+}[/tex]

[tex]\\[/tex]

[tex]\sqrt{x+4-4\sqrt{x} } + \sqrt{x+9-6\sqrt{x} } =1[/tex]

[tex]\sqrt{(\sqrt{x})^2+2^2-2\times2\sqrt{x} } + \sqrt{(\sqrt{x})^2+3^2-2\times3\sqrt{x} } =1[/tex]

[tex]\sqrt{(\sqrt{x} -2)^2}+\sqrt{(\sqrt{x} -3)^2}=1[/tex]

[tex]|\sqrt{x} -2|+|\sqrt{x} -3| = 1[/tex]

[tex]{\sf \underline{1^{er}\: cas :} \:\: si \:\:} 0\leqslant x\leqslant4 \iff \begin{cases}-2\leqslant\sqrt{x} -2 \leqslant 0 \\ -3 \leqslant\sqrt{x} -3\leqslant-1\end{cases}[/tex]

[tex]-(\sqrt{x} -2)+(-(\sqrt{x} -3)) = 1[/tex]

[tex]-\sqrt{x} +2-\sqrt{x} +3=1[/tex]

[tex]-2\sqrt{x} +5=1[/tex]

[tex]-2\sqrt{x} =-4[/tex]

[tex]\sqrt{x} =2[/tex]

[tex]\boxed{x=4}[/tex]

[tex]\boxed{\boxed{S_1=\{4\} }}[/tex]

[tex]\\[/tex]

[tex]{\sf \underline{2^{\grave{e}me}\: cas :} \:\: si \:\:} 4\leqslant x\leqslant9 \iff \begin{cases}0\leqslant\sqrt{x} -2 \leqslant 1 \\ -1 \leqslant\sqrt{x} -3\leqslant 0 \end{cases}[/tex]

[tex]+(\sqrt{x} -2)+(-(\sqrt{x} -3)) = 1[/tex]

[tex]\sqrt{x} -2-\sqrt{x} +3=1[/tex]

[tex]1=1 \:\:\:{\sf vrai}[/tex]

[tex]\boxed{\boxed{S_2=[4;9]}}[/tex]

[tex]\\[/tex]

[tex]{\sf \underline{3^{\grave{e}me}\: cas :} \:\: si \:\:} x \geqslant 9 \iff \begin{cases}\sqrt{x} -2 \geqslant 1 \\ \sqrt{x} -3\geqslant 0 \end{cases}[/tex]

[tex]+(\sqrt{x} -2)+(\sqrt{x} -3) = 1[/tex]

[tex]\sqrt{x} -2+\sqrt{x} -3=1[/tex]

[tex]2\sqrt{x} -5=1[/tex]

[tex]2\sqrt{x} =1+5[/tex]

[tex]2\sqrt{x} =6[/tex]

[tex]\sqrt{x} =\dfrac{6}{2}[/tex]

[tex]\sqrt{x} =3[/tex]

[tex](\sqrt{x})^{2} =3^2[/tex]

[tex]\boxed{x=9}[/tex]

[tex]\boxed{\boxed{S_3=\{9\} }}[/tex]

[tex]S = S_1 \cup S_2 \cup S_3[/tex]

[tex]\Large{\red{\boxed{\boxed{S = [4\:;\:9]}}} }[/tex]