Bonjour. Voici un exercice pour ceux qui passent en classes prépa

Bonjour,

[tex]4 {}^{x + 1} + 2 {}^{2 - x} = 65[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \: 4(2 {}^{x} ) {}^{2} + \frac{4}{2 {}^{x} } = 65[/tex]

[tex]\Leftrightarrow4(2 {}^{x} ) {}^{2} + \frac{4}{2 {}^{x} } - 65 = 0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow4(2 {}^{x} ) {}^{3} - 65(2 {}^{x} ) + 4 = 0[/tex]

[tex]On \: \: pose \: \: u = 2 {}^{x} [/tex]

[tex]4u {}^{3} - 65u + 4 = 0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow4u {}^{3} - 16u {}^{2} + 16 {u}^{2} - 64u - u + 4 = 0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow(u - 4)(4 {u}^{2} + 16u - 1) = 0[/tex]

Produit de facteurs nuls, on a donc :

[tex]u = 4 = 2 {}^{x} \Rightarrow \: x = 2[/tex]

[tex]u = 2 {}^{x} = \frac{ - 4 + \sqrt{17} }{2} \Rightarrow \: x = log_{2} \frac{ - 4 + \sqrt{17} }{2} [/tex]

Réponse :

Voir PJ

Explications étape par étape :