G2-G b) On pose Z euve de : EXERCICE 1 Soit le polynôme P à variable complexe z défini par : P(z) = z³ - 7z² + (19 +5i)z - 18-30i. 1. a) Montrer que l'équation

Réponse:

1.a) P(2i) = 0

1.b) P(z) = (z-2i)((z² + (-7+2i)z + (-9i+15))

1.c) z=2i ou

Explications étape par étape:

1.a) On pose z = ai puis on résout P(ai) = 0 pour trouver a.

P(ai) = 0

(ai)^3 + 7(ai)^2 + (19+5i)ai - 18 - 30i = 0

-ia^3 + 7a^2 +19ai - 5a -18 - 30i = 0

La partie imaginaire et la partie réelle doivent être nulles, donc :

-a^3 + 19a -30 = 0 et 7a^2 - 5a -18 = 0

a = 2 est solution évidente de ces deux équations, donc P(2i) = 0.

1.b) On se laisse un peu plus de liberté en ne posant pas que le a de az + b soit égal à 2, donc on a :

P(z) = (z-2i)(z^2 + az + b) =. z³ - 7z² + (19 +5i)z - 18-30i, donc zn développant la f1ctorisation et en identifia't les facteurs des puissances de z, on devrait avoir la solution pour a et b.

z^3 + az^2 + bz - 2iz^2 - 2iaz - 2ib = z³ - 7z² + (19 +5i)z -18 - 30i

Par identification, on obtient :

a - 2i = -7

b - 2ia = 19 + 5l

-2ib = -18-30i

Donc

a = -7 + 2i

b - 2ia = 19 + 5l

b = -9i + 15

En remplaçant a et b par leur valeur, on vérifie que l'équation 2 est vérifiée :

b-2ia =-9i + 15 - 2i(-7 + 2i)

= 9i + 15 + 14i + 4 = 19 + 5i

On a ainsi P(z) = (z-2i)((z² + (-7+2i)z + (-9i+15)) .

1.c) On résout P(z) = 0 à l'aide de la factorisation :

(z-2i)((z² + (-7+2i)z + (-9i+15)) = 0

z-2i = 0 ou z² + (-7+2i)z + (-9i+15) = 0

Donc z=2i et pour résoudre la 2ème équation, on pose z=a+ib et on dira que la partie réelle et la partie imaginaire doivent être nulles.

(a+ib)² + (-7+2i)(a+ib) + (-9i+15) = 0

a^2+2iab-b^2 -7a -7ib +2ia -2b -9i +15=0

a^2 -b^2 -7a -2b +15=0 et 2ab -7b +2a -9=0

Donc 2a(b+1) -7b -9=0

a = (7b+9)/(b+1)