j'ai devoir maison à rendre pouvez vous m'aider svp : voila l'énoncer : [tex]n[/tex] étant étant un entier naturel, qui est le plus grand : [tex]n ^{n+1} [/tex

j'ai devoir maison à rendre pouvez vous m'aider svp :
voila l'énoncer : " [tex]n[/tex] étant étant un entier naturel, qui est le plus grand : [tex]n ^{n+1} [/tex] ou [tex](n+1) ^{n} [/tex] ? "

voila ou j'en suis dans mon devoir : (nous sommes dans le chapitre des logarithmes)
on cherche a savoir si [tex]n ^{n+1} [/tex] < [tex](n+1) ^{n} [/tex]
ou [tex]n ^{n+1} [/tex] > [tex](n+1) ^{n} [/tex] .
[tex] ln( n^{n+1}) ? ln((n+1) ^{n} )
<=> (n+1)ln (n) ? nln(n+1)
[/tex]
supposons que [tex] \frac{ln(n)}{n} < \frac{ln(n+1}{n+1}
[/tex]
soit la suite Un définit par [tex]u_{n} = \frac{ln}{n}
[/tex]. montrons que Un est croissante et après on pourra les comparais .
mais le problème c'est que il y a différente façon de montre la monotonie d'une suite et une seul peut être adapté et plus facile à utiliser et calculer :
la récurrence(je ne pense pas que se soit celle la ) / étudier le signe de Un+1-Un (elle non plus) / comparer Un+1/Un à 1 (ici les termes sont positifs donc pourquoi pas essayer ) / je sais qu'il ya encore une autre façon mais je ne m'en souvient plus ..

je pense que mon raisonnement est juste (ma proff m'avais donné quelque piste) mais je n'arrive pas a finir quelqu'un peut m'aider SVP ??

raisonnement par récurrence : soit Un=(ln n) /n et Un+1= (ln n+1)/n+1

On souhaite démontré que ∨ n∈Ν , Un<Un+1. on note P(n) la proposition "Un<Un+1"
initialisation : pour n=1 
U1=(ln 1)/1 =0 et U2= (ln 2)/2. On a U1<U2 donc P(1) vrai
hérédité : pour n fixé;
Supp. que P(n) vrai cad Un<Un+1
Mtr que p(n+1 vrai cad Un+1<Un+2

Un<Un+1 (HR)
(ln n)/n < (ln n+1)/n+1
ln (n+1)/n+1 < (ln(n+1))/n+1+1
Un+1 < ln (n+2)/n+2
Un+1 < Un+2
 donc p(n+1) vrai 
conclusion : on a montrés que P(1) et P(n) vrais donc ∨n∈N "Un<Un+1"

la suite est donc croissante  on peut donc écrire que 
ln(n)/n < ln(n+1)/n+1
⇔n^n+1 <(n+1)^n
 donc (n+1)^n est plus grand que n^n+1

est ce que c'est juste ou pas (surtout l'hérédité je ne suis pas ) ?????