Problème : Sur une plage de Malibu, le maître-nageur Mitch Bukanouille utilise une corde de 160 mètres de longueur et deux bouées pour délimiter une zone de bai
Mathématiques
karimelou
Question
Problème : Sur une plage de Malibu, le maître-nageur
Mitch Bukanouille utilise une corde de 160 mètres de
longueur et deux bouées pour délimiter une zone de
baignade rectangulaire. Il cherche à déterminer où
placer les bouées pour que la zone de baignade ait la plus
grande aire possible. On note x la longueur AB en mètres
.
Partie I : construction
1.1. Dans quel intervalle x varie-t-elle ?
2. calculer en foction de x, les dimensions de la zone de baignade
et calculer en fonction de x l'aire de la zone de baignade
On appellera f la fonction qui à x associe l’aire, en m2 , de la zone de baignade. On
souhaite étudier les variations de f sur l’intervalle [0;80] .
3. faire un tableau de valeurs avec des nombres entiers de dizaines.
4.représenter grapiquement la fonction dans un repère du plan
5. D’après le graphique, pour quelle valeur de x l’image f (x) est-elle la plus grande ? On
notera x 0 cette valeur.
On va montrer que pour tout x compris entre 0 et 80, f (x (plus petit ou égal à)f (x 0).
6. Factoriser l’expression f (x )−f (x 0) . En déduire le signe de f (x )−f (x 0) .
7. Répondre au problème de Mitch.
Mitch Bukanouille utilise une corde de 160 mètres de
longueur et deux bouées pour délimiter une zone de
baignade rectangulaire. Il cherche à déterminer où
placer les bouées pour que la zone de baignade ait la plus
grande aire possible. On note x la longueur AB en mètres
.
Partie I : construction
1.1. Dans quel intervalle x varie-t-elle ?
2. calculer en foction de x, les dimensions de la zone de baignade
et calculer en fonction de x l'aire de la zone de baignade
On appellera f la fonction qui à x associe l’aire, en m2 , de la zone de baignade. On
souhaite étudier les variations de f sur l’intervalle [0;80] .
3. faire un tableau de valeurs avec des nombres entiers de dizaines.
4.représenter grapiquement la fonction dans un repère du plan
5. D’après le graphique, pour quelle valeur de x l’image f (x) est-elle la plus grande ? On
notera x 0 cette valeur.
On va montrer que pour tout x compris entre 0 et 80, f (x (plus petit ou égal à)f (x 0).
6. Factoriser l’expression f (x )−f (x 0) . En déduire le signe de f (x )−f (x 0) .
7. Répondre au problème de Mitch.
1 Réponse
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1. Réponse Anonyme
0<x<160/2
BC=160-2x
Aire = x(160-2x)=160-2x²
f(x)=160-2x²
f(40)=3200 => x°=40m lecture graphique
0 10 20 30 40 50 60 70 80
0 1400 2400 3000 3200 3000 2400 1400 0
f(x)-f(x°)= 160x-2x²-3200= -2 (x²-80x+1600) = -2 ( x²-2*40x+40²)
= -2(x-40)² <=0 (négatif * positif = négatif)
f(x)-f(x°)=0 => x-40=0 =< x=40
x= 40 donc BC=80 pour une aire max
La bonne journée