Sur le chapitre logique & ensemble :) Besoin d'aide .. je ne vois pas comment commencé :/

Puisque f admet une réciproque on va démontrer que f est injective :
Soit a et b ∈ X, tel que f(a)=f(b)
Alors [tex]f^{-1}(f(a))=f^{-1}(f(b)) [/tex]
Soit [tex]f^{-1}of(a)=f^{-1}of(b) [/tex]
Or [tex]f^{-1}of(a)=a [/tex] et [tex]f^{-1}of(b)=b [/tex]
On en déduit que a=b
Donc f est injective.
(On pourrait démontrer aussi que f est surjective mais ce n'est pas utile ici).

Soit alors x ∈ [tex]f^{-1}(f(A)) [/tex]
On a f(x) ∈ f(A) donc il existe y ∈ A tel que f(x)=f(y)
Comme f est injective, on a x=y et donc x ∈ A.
Donc [tex]f^{-1}(f(A)) [/tex] est inclus dans A.

Par ailleurs, si x ∈ A, alors f(x) ∈ f(A) donc x ∈ [tex]f^{-1}(f(A)) [/tex]
On en déduit que A est inclus dans [tex]f^{-1}(f(A)) [/tex]
Donc [tex]f^{-1}(f(A)) [/tex]=A

On en déduit que A Inter [tex]f^{-1}(f(A)) [/tex] barre = ensemble vide.