Pouvez vous m'aider à résoudre la question 4 (de a à e) Soit la fonction f définie sur R par f(x) = -x²-2x+15 et P sa courbe dans un repère (O;I;J) 1-Montrer qu

1) f(x)=-x²-2x+15=-(x²+2x-15)=-(x²+2x+1-1-15)
f(x)=-((x+1)²-16)=-(x+1)²+16

2) Soit a et b ∈ [-1;+oo[ tels que a<b
Alors 0≤a+1≤b+1
⇔(a+1)²≤(b+1)² car la fonction carré est croissante sur IR+
⇔-(a+1)²≥-(b+1)²
⇔16-(a+1)²≥16-(b+1)²
⇔f(a)≥f(b)
Donc f est décroissante sur [-1;+oo[
De même : Soit a et b ∈ [-oo;-1[ tels que a<b
Alors a+1≤b+1≤0
⇔(a+1)²≥(b+1)² car la fonction carré est décroissante sur IR-
⇔-(a+1)²≤-(b+1)²
⇔16-(a+1)²≤16-(b+1)²
⇔f(a)≤f(b)
Donc f est croissante sur [-oo;-1[
Le sommet de la parabole est en -1 et f(-1)=16


Soit le tableau de variation :
x          -oo                                    -1                                +oo
f(x)                        croissante        16        décroissante

3) f(x)=-x²-2x+15=-x²+(3x-5x)+15=(-x²+3x)+(-5x+15)
f(x)=x(-x+3)+5(-x+3)=(-x+3)(x+5)

4a) f(0) : on utilise la forme développée : f(0)=-0²-2*0+15=15
f(3) on utilise la forme factorisée : f(3)=(-3+3)(3+5)=0*8=0
f(√3-1) on utilise la forme canonique :  f(√3-1)=-(√3-1+1)²+16=-3+16=13

4b) Avec l'axe des abscisses : x=0 et f(0)=15.
Les coordonnées de l'intersection sont (0;15)
avec l'axe des ordonnées : on cherche x tel que f(x)=0
Soit (-x+3)(x+5)=0 : un produit est nul si l'un des facteurs est nul :
Donc -x+3=0 ou x+5=0
Soit x=3 ou x=-5
Donc les coordonnées des points d'intersection sont (3;0) et (-5;0)

4c) f(x)=15
Soit -x²-2x+15=15
⇔-x²-2x=0
⇔x(x+2)=0
⇔x=0 ou x+2=0
⇔x=0 ou x=-2
S={-2;0}

4d) f(x)>16
⇔-(x+1)²+16>16
⇔-(x+1)²>0
⇔(x+1)²<0
Impossible car un carré est toujours positif donc S=Ф

4e) Tableau de signe :
x            -oo              -5                3              +oo
-x+3                  +                  +                -
x+5                   -                  +                 +
f(x)                    -                  +                 -