Est ce que vous pourriez m'aider avec cette exercice ? On considère la suite (Un)n€IN définie par : U0=1/2 Un+1= Un/1+2Un pour tout n € IN Soit la suite (Vn)n€I

Réponse :

Est ce que vous pourriez m'aider avec cette exercice ?

On considère la suite (Un)n€IN définie par :

U0=1/2 Un+1= Un/1+2Un pour tout n € IN

Soit la suite (Vn)n€IN définie par Vn=1/Un+1 (on admet que Un≠0 pour tout n)

1) Calculer U1 et U2

u1 = u0/(1+2u0) = 1/2/(1+ 2*1/2) = 1/4

u2 = u1/(1+2u1) = 1/4/(1 + 2*1/4) = 1/4/3/2 = 1/6

2) Démontrer que la suite (Vn)n€IN est arithmétique.

Donner son premier terme et sa raison.

vn = (1/un) + 1

vn+1 = (1/un+1) + 1

       = (1/un/(1+2un)) + 1

       = (1+2un)/un) + un/un

       = (1 + 3un)/un

       = 1/un + 3

       = ((1/un) + 1) + 2

vn+1 = vn + 2   CQFD

r = 2  et  v0 = 1/u0) + 1 = 1/1/2  + 1 = 3  

3) Exprimer Vn en fonction de n et en déduire Un en fonction de n.

vn = v0 + rn  = 3 + 2 n

vn = 1/un  + 1   ⇔  1/un = vn  - 1    ⇔ un = 1/(vn - 1)  ⇔ un = 1/(3+2n - 1)

donc  un = 1/(2 + 2n) = 1/2*(1/(n+1))  

Explications étape par étape :